122 ÉV UTÁN MEGOLDOTT MATEMATIKAI REJTÉLY
Henry Dudeney, az angol matematikus, 1902-ben egy feladványt tett közzé: adott egy egyenlő oldalú háromszög, melyet a lehető legkevesebb darabra kell szabdalni, hogy azokból egy négyzetet lehessen összeállítani. Két hét múlva a manchesteri Charles William McElroy megoldásával zárta le a rejtélyt, amely négy darabos felosztással érte el célját. Bár az évek során sokan próbáltak ennél jobb eredményt találni, egészen mostanáig nem sikerült új, hiteles megfejtéssel előállni.
Egy új tanulmány, melyet a japán Kamata Tonan és kutatócsoportja publikált, végleg megerősítette: négynél kevesebb elemre semmiképpen sem bontható az adott háromszög úgy, hogy egy azonos területű négyzetet kapjunk belőle. A kutatásuk eredményét a Scientific American is idézte, ahol Kamata a matematikai rejtvények egyszerűnek tűnő, mégis elmélyült szépségéről beszélt.
GRÁFELMÉLET: A KULCS A MEGOLDÁSHOZ
A japán matematikusok a gráfelmélet eszköztárát hívták segítségül. Ennek alapja csúcsok és azok összeköttetései, az úgynevezett élek rendszere. Az egyszerűnek tűnő két darabra osztással könnyedén igazolható, hogy az így kapott részek soha nem állíthatnak össze négyzetté: a háromszög éleinek és egy négyzet átlójának hosszúsága közötti ellentmondás ezt egyértelművé teszi.
A három részre való osztás esetében viszont már sokkal bonyolultabbá válik a történet. Egy háromszög elvágásának számtalan módja létezik, így ezek végtelen kombinációt tesznek lehetővé. Erik Demaine, a kutatás egyik társszerzője elmondása szerint ez az összetettség kizárja a számítógépes szimulációk egyszerű alkalmazását, ami komoly nehézségeket jelentett a bizonyítás során.
A BIZONYÍTÁS FÁRADTSÁGOS ÚTJA
A kutatók több lépésben közelítették meg a problémát. Először osztályokba sorolták a háromszög összes lehetséges vágását, majd ugyanezt megtették a négyzet esetében is. Az eredmény: a háromszög esetében öt, a négyzetnél pedig harmincnyolc külön osztály jött létre.
E két rendszer viszonyait elemezték tovább, a lehetséges útvonalak hosszait és szögeit vetve össze. Ha bármelyik négyzetbeli útvonal teljes egyezést mutatott volna egy háromszögbeli vágással, azt egy háromdarabos megoldásként értékelhették volna. De minden kísérlet ellenére egyértelművé vált: ilyen megoldás egyszerűen nem létezik.
Segédtételek egész során keresztül sikerült végül tökéletesen igazolniuk, hogy négynél kevesebb elemről szó sem lehet. Mind a grafikai, mind az elméleti megfontolások szembehelyezkedtek bármely ellenkező javaslattal.
EGY REJTÉLY SZÉPSÉGE ÉS HATÁSA
Ez a 122 évig lebegő matematikai probléma nem csupán egy lenyűgöző szellemi kihívásként marad fenn, hanem új utakat is nyithat a matematikai kutatások területén. Kamata és kollégáinak munkája bizonyítja, hogy a kitartó és módszeres megközelítések a leghihetetlenebbnek tűnő rejtvényekre is rávilágíthatnak, miközben új mérföldköveket állítanak fel az emberi tudomány történetében.
